В треугольнике ABC медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 3S** Решение: 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, точка $O$ делит медианы $AA_1$ и $BB_1$ так, что $AO : OA_1 = 2:1$ и $BO : OB_1 = 2:1$. 2. Три медианы разбивают треугольник $ABC$ на шесть равновеликих треугольников (треугольников с равной площадью). 3. Треугольник $ABO$ состоит из двух таких маленьких треугольников. Это можно доказать так: медиана $AA_1$ делит $\triangle ABC$ на два равновеликих $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$ ($S_{ABA_1} = \frac{1}{2} S_{ABC}$). 4. В треугольнике $ABA_1$ отрезок $BO$ является частью медианы. Так как $AO : OA_1 = 2:1$, то площадь $\triangle ABO$ составляет $\frac{2}{3}$ площади $\triangle ABA_1$. 5. $S_{ABO} = \frac{2}{3} \cdot S_{ABA_1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}$. 6. Следовательно, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{ABO} = 3S$.

В треугольнике ABC медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.

Ответ ассистента

Другие решения