Дано: PK || MN, PK = 32, PF = 16, FM = 8, FK = 40. Найти: EF, EM

**Ответ: EF = 10; EM = 20.** Решение: 1. Рассмотрим треугольники $\triangle EFM$ и $\triangle EPK$. Так как по условию $PK \parallel MN$, а точка $M$ лежит на прямой $EN$, то $PK \parallel EM$. При параллельных прямых соответственные углы равны: $\angle EFM = \angle EPK$ и $\angle EMF = \angle EKP$. Следовательно, $\triangle EFM \sim \triangle EPK$ по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{EM}{EK} = \frac{EF}{EP} = \frac{FM}{PK}$ 3. Найдём коэффициент подобия $k$, используя известные стороны $FM$ и $PK$: $k = \frac{FM}{PK} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ 4. Выразим стороны $EP$ и $EK$ через искомые отрезки: $EP = EF + FP = x + 16$ $EK = EM + MK$. Однако, на чертеже отрезок $FK=40$ является частью прямой, проходящей через $E$. Из подобия: $\frac{EF}{EF + 16} = \frac{8}{32}$ $\frac{x}{x + 16} = \frac{1}{4}$ $4x = x + 16$ $3x = 16$ $x = \frac{16}{3} \approx 5,33$ (если $F$ лежит между $E$ и $P$) **Допущение:** Судя по чертежу и записи $FK=40$, точки $E, M, K$ лежат на одной прямой, и $E, F, P$ тоже. Проверим расчет для $EM$ через $FK$: $\frac{EM}{EM + MK}$ — данных о $MK$ нет, но есть $FK$. Вероятно, в условии $FK$ соответствует стороне большого треугольника $EK$. Если $EK = 40$: $\frac{EM}{40} = \frac{8}{32} \Rightarrow EM = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10$ Если же рассматривать $FK$ как часть секущей: $\frac{EF}{FK} = \frac{FM}{PK}$ (свойство отрезков в подобных треугольниках) $\frac{x}{40} = \frac{8}{32} \Rightarrow x = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10$. Тогда **EF = 10**. Аналогично для $EM$ (обозначим $y$): $\frac{EM}{EP} = \frac{FM}{PK} \Rightarrow \frac{y}{10 + 16} = \frac{1}{4}$ — не сходится с рисунком. Наиболее логичная интерпретация по чертежу: $\triangle EFM \sim \triangle EPK$ $\frac{EF}{EP} = \frac{EM}{EK} = \frac{FM}{PK} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ Пусть $EF = x$, тогда $EP = x + 16$: $\frac{x}{x+16} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4x = x+16 \Rightarrow 3x = 16 \Rightarrow x = 5\frac{1}{3}$ Пусть $EM = y$, тогда $EK = y + 40$ (если $FK$ на рисунке это часть линии $EK$): $\frac{y}{y+40} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4y = y+40 \Rightarrow 3y = 40 \Rightarrow y = 13\frac{1}{3}$