1. Диагонали ромба равны 14 см. и 48 см. Найдите сторону ромба.

1. **Ответ: 25 см.** Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей ($7$ см и $24$ см). По теореме Пифагора сторона ромба $a$ равна: $a = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. 2. **Ответ: 96 см².** Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, значит, острый угол равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Площадь параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 16 \cdot 0,5 = 96$. 3. **Ответ: 18(1 + √3) см² (или ≈ 49,18 см²).** Высота $BD$ делит треугольник на два прямоугольных треугольника $ABD$ и $BCD$. В $\triangle ABD$: $AD = BD / \text{tg}(30^\circ) = 6 / (1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$. Угол $\angle DBC = \angle B - \angle ABD = 75^\circ - (90^\circ - 30^\circ) = 15^\circ$. Однако проще: $\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$. Значит, $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC$). В $\triangle ABD$: $AB = BD / \sin(30^\circ) = 6 / 0,5 = 12$. Тогда основание $AC = AB = 12$. Площадь $S = 0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot 12 \cdot 6 = 36$ см². **Допущение:** Если $AC$ — основание. Если же искать через части $AD$ и $DC$: в $\triangle BDC$ $\angle C = 75^\circ$, тогда $DC = 6 / \text{tg}(75^\circ)$. $S = 0,5 \cdot 6 \cdot (6\sqrt{3} + 6 / (2+\sqrt{3})) = 18(\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 36$. 4. **Ответ: S = 60 см², P = 34 см.** Найдем вторую сторону $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. Площадь $S = 5 \cdot 12 = 60$. Периметр $P = 2 \cdot (5 + 12) = 34$. 5. **Ответ: 180 см².** Проведем высоту $h$. Отрезок на большем основании равен $(20 - 10) / 2 = 5$. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора высота $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. Площадь трапеции $S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$.