Разложите на множители: 1) 1000m^3 - n^3

### Задание 1. Разложите на множители: 1) $1000m^3 - n^3 = (10m)^3 - n^3 = (10m - n)(100m^2 + 10mn + n^2)$ 2) $81a^3 - ab^2 = a(81a^2 - b^2) = a(9a - b)(9a + b)$ 3) $-8x^2 - 16xy - 8y^2 = -8(x^2 + 2xy + y^2) = -8(x + y)^2$ 4) $5mn + 15m - 10n - 30 = 5m(n + 3) - 10(n + 3) = (5m - 10)(n + 3) = 5(m - 2)(n + 3)$ ### Задание 2. Разложите на множители: 1) $a^2 - 36b^2 + a - 6b = (a - 6b)(a + 6b) + (a - 6b) = (a - 6b)(a + 6b + 1)$ 2) $25x^2 - 10xy + y^2 - 9 = (5x - y)^2 - 3^2 = (5x - y - 3)(5x - y + 3)$ 3) $ay^7 + y^7 - ay^3 - y^3 = y^7(a + 1) - y^3(a + 1) = (a + 1)(y^7 - y^3) = y^3(a + 1)(y^4 - 1) = y^3(a + 1)(y^2 - 1)(y^2 + 1) = y^3(a + 1)(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)$ 4) $4 - m^2 + 14mn - 49n^2 = 4 - (m^2 - 14mn + 49n^2) = 2^2 - (m - 7n)^2 = (2 - (m - 7n))(2 + (m - 7n)) = (2 - m + 7n)(2 + m - 7n)$ ### Задание 3. Решите уравнение: 1) $2x^3 - 32x = 0$ $2x(x^2 - 16) = 0$ $2x(x - 4)(x + 4) = 0$ **Ответ:** $x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4$. 2) $x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0$ $x^2(x + 6) - 1(x + 6) = 0$ $(x^2 - 1)(x + 6) = 0$ $(x - 1)(x + 1)(x + 6) = 0$ **Ответ:** $x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = -6$. ### Задание 4. Докажите: Докажите, что значение выражения $2^9 + 10^3$ делится нацело на $18$. $2^9 + 10^3 = (2^3)^3 + 10^3 = 8^3 + 10^3$ Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $8^3 + 10^3 = (8 + 10)(8^2 - 8 \cdot 10 + 10^2) = 18 \cdot (64 - 80 + 100) = 18 \cdot 84$ Так как один из множителей равен $18$, то всё произведение делится на $18$. Что и требовалось доказать.