Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 3 см и 9 см. Высота пирамиды равна 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

**Ответ: 120 см²** **Решение:** 1. Найдём апофему $h_a$ (высоту боковой грани). В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде высота $H$, апофема $h_a$ и отрезки, соединяющие центры оснований с серединами сторон, образуют прямоугольную трапецию. Расстояние от центра до стороны квадрата равно половине его стороны: $r_1 = \frac{9}{2} = 4,5$ см $r_2 = \frac{3}{2} = 1,5$ см 2. Из прямоугольного треугольника внутри этой трапеции по теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ $h_a^2 = 4^2 + (4,5 - 1,5)^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ $h_a = \sqrt{25} = 5$ см 3. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной усечённой пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований. $P_1 = 4 \cdot 9 = 36$ см $P_2 = 4 \cdot 3 = 12$ см $S_{бок} = \frac{36 + 12}{2} \cdot 5 = \frac{48}{2} \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$ см²