Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD треугольника ABC. Угол MCD равен 53°, стороны AC и BC равны. Найдите угол BAC.

**Ответ: 74°** **Решение:** 1. По условию $CM$ — биссектриса внешнего угла $\angle BCD$. Значит, $\angle BCM = \angle MCD = 53^{\circ}$. 2. Весь внешний угол $\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 53^{\circ} + 53^{\circ} = 106^{\circ}$. 3. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 4. Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AC = BC$, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 5. Пусть $\angle BAC = x$, тогда: $x + x = 106^{\circ}$ $2x = 106^{\circ}$ $x = 53^{\circ}$ **Допущение:** В тексте задания сказано, что $AC$ и $BC$ равны. Однако на чертеже угол $MCD$ (часть внешнего угла) и углы треугольника визуально соотносятся иначе. Если следовать строго тексту «Найдите угол BAC» при условии, что $\angle MCD = 53^{\circ}$ и $AC=BC$, то ответ $53^{\circ}$. Но в подобных задачах часто $AC=AB$ (основание $BC$). Проверим этот случай: если $AC=AB$, то $\angle ACB = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ}$, тогда $\angle BAC = 180^{\circ} - 2 \cdot 74^{\circ}$ — не подходит. Если же основание $AC$ (т.е. $AB=BC$), то $\angle BAC = (180^{\circ} - (180^{\circ}-106^{\circ})) / 2 = 53^{\circ}$. **Перепроверка:** Обычно в таких задачах внешний угол равен сумме углов при основании. Если $\angle BCD = 106^{\circ}$, а $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то $\angle BAC = \angle ABC = 106^{\circ} / 2 = 53^{\circ}$. Если же $AC = BC$ (как в тексте), то основание — $AB$, и расчет выше верен. **Ответ:** $53^{\circ}$.