1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной a. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью угол в 30 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

**Ответ: 1. $V = a^3\sqrt{2}$; 2. $V = 25$** **Решение задачи №1:** 1. Пусть сторона основания $a$. Так как в основании квадрат, его стороны равны $a$. 2. Угол между диагональю параллелепипеда $d$ и боковой гранью — это угол между диагональю и её проекцией на эту грань. Для прямоугольного параллелепипеда проекцией диагонали на боковую грань является диагональ этой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю боковой грани и стороной основания $a$. Угол в $30^{\circ}$ лежит против стороны $a$. 3. В этом треугольнике: $\text{tg}(30^{\circ}) = \frac{a}{d_{грани}}$, отсюда $d_{грани} = \frac{a}{\text{tg}(30^{\circ})} = a\sqrt{3}$. 4. Из прямоугольного треугольника боковой грани (со сторонами $h$, $a$ и гипотенузой $d_{грани}$): $h^2 + a^2 = (a\sqrt{3})^2 \Rightarrow h^2 + a^2 = 3a^2 \Rightarrow h^2 = 2a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{2}$. 5. Объем параллелепипеда: $V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot a\sqrt{2} = a^3\sqrt{2}$. **Решение задачи №2:** 1. Пусть $AC = 5$ и $BC = b$ — катеты основания. Высота призмы — $H$. 2. Плоскость $AB_1C$ проходит через $AC$. Линейный угол двугранного угла между $AB_1C$ и основанием — это $\angle B_1CB = 45^{\circ}$ (так как $BC \perp AC$ и $B_1C \perp AC$ по теореме о трех перпендикулярах). 3. В $\triangle B_1BC$: $\text{tg}(45^{\circ}) = \frac{H}{b} \Rightarrow 1 = \frac{H}{b} \Rightarrow H = b$. 4. Расстояние от $B$ до плоскости $AB_1C$ — это высота $h_b$ в $\triangle B_1BC$, опущенная на гипотенузу $B_1C$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна $\frac{b\sqrt{2}}{2}$. 5. По условию $\frac{b\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \Rightarrow b = 4$. Значит, $H = 4$. 6. Площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$. 7. Объем призмы: $V = S_{ABC} \cdot H = 10 \cdot 4 = 40$. **Допущение:** В пункте 2 во втором шаге рассуждений была допущена ошибка в интерпретации расстояния. Пересчитаем: высота $\triangle B_1BC$ равна $2\sqrt{2}$, тогда $b = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4$. $H = 4$. $V = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 = 40$. По условию задачи $AB_1C$ — это плоскость сечения, расчет верный.