К-5. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Вариант А1. 1. Решите уравнения: а) x² - 4x + 3 = 0; б) x² + 9x = 0; в) 7x² - x - 8 = 0; г) 2x² - 50 = 0.

**1. Решите уравнения:** а) $x^2 - 4x + 3 = 0$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ $x_1 \cdot x_2 = 3$ **Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$** б) $x^2 + 9x = 0$ $x(x + 9) = 0$ $x = 0$ или $x + 9 = 0$ **Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -9$** в) $7x^2 - x - 8 = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225 = 15^2$ $x = \frac{1 \pm 15}{14}$ $x_1 = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$ $x_2 = \frac{-14}{14} = -1$ **Ответ: $x_1 = 1\frac{1}{7}, x_2 = -1$** г) $2x^2 - 50 = 0$ $2x^2 = 50$ $x^2 = 25$ **Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$** **2. Решите задачу:** Пусть ширина $x$ см, тогда длина $(x + 5)$ см. $x(x + 5) = 36$ $x^2 + 5x - 36 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -9$ (не подходит по смыслу). Ширина — 4 см, длина — $4 + 5 = 9$ см. **Ответ: 4 см и 9 см.** **3. Определите значения y, при которых верно равенство:** $y^2 - \frac{9y - 2}{7} = 0$ Умножим всё на 7: $7y^2 - (9y - 2) = 0$ $7y^2 - 9y + 2 = 0$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$ $y = \frac{9 \pm 5}{14}$ $y_1 = \frac{14}{14} = 1$ $y_2 = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ **Ответ: $y_1 = 1, y_2 = \frac{2}{7}$** **4. Один из корней уравнения равен 4. Найдите второй корень и число a:** $x^2 + x - a = 0$ Подставим $x = 4$: $4^2 + 4 - a = 0$ $16 + 4 - a = 0 \Rightarrow a = 20$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ $4 + x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = -5$ **Ответ: $x_2 = -5, a = 20$** **5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 8:** $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$ $x_1 + x_2 = -5 + 8 = 3$ $x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot 8 = -40$ **Ответ: $x^2 - 3x - 40 = 0$**