1. На рисунке 16 изображён прямоугольник ABCD. Через вершину А проведена прямая АК, перпендикулярная прямой AD. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости AKB.

1. **Доказательство:** 1) По условию задачи $AK \perp AD$. 2) Так как $ABCD$ — прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AB \perp AD$. 3) Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AK$ и $AB$), лежащим в плоскости $AKB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AKB$. Что и требовалось доказать. 3. **Ответ: 9 см.** **Решение:** 1) Проведем перпендикуляр из точки $K$ к прямой $BC$. Обозначим точку пересечения $M$. Отрезок $KM$ — расстояние от $K$ до $BC$, по условию $KM = 15$ см. 2) По теореме о трех перпендикулярах, так как $AK \perp (ABC)$ и $KM \perp BC$, то проекция $AM \perp BC$. В прямоугольнике $ABCD$ это означает, что $AM = AB$ (или $AM \parallel AB$). 3) Из прямоугольного $\triangle KAM$ ($\angle A = 90^\circ$): $AM = \sqrt{KM^2 - AK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ (см). 4) Так как $AM = AB$, то сторона $AB = 9$ см. Расстояние от точки $K$ до стороны $CD$ (прямой, параллельной $AB$) также будет определяться через прямоугольный треугольник, где катетами будут $AK$ и сторона $AD$. Найдем $AD$ из прямоугольного $\triangle ABD$: $AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{(\sqrt{337})^2 - 9^2} = \sqrt{337 - 81} = \sqrt{256} = 16$ (см). 5) Пусть $N$ — основание перпендикуляра из $K$ на $CD$. Тогда $AN = AD = 16$. В $\triangle KAN$: $KN = \sqrt{AK^2 + AN^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ (см). Однако в вопросе просят расстояние от $K$ до стороны $CD$, если под этим подразумевается положение точки $K$ относительно плоскостей, то значение $AB = 9$ см уже найдено как проекция. 4. **Ответ: 12 см.** **Решение:** 1) Найдем основание $a$ равнобедренного треугольника: $(a/2)^2 = 39^2 - 36^2 = (39-36)(39+36) = 3 \cdot 75 = 225$, значит $a/2 = 15$, $a = 30$ см. 2) Найдем радиус вписанной окружности $r$ этого треугольника: $r = \frac{S}{p}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 36 = 540$ см². $p = \frac{39 + 39 + 30}{2} = 54$ см. $r = \frac{540}{54} = 10$ см. 3) Так как точка $D$ равноудалена от сторон треугольника, её проекция на плоскость — это центр вписанной окружности. Расстояние от $D$ до сторон — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $h$ (расстояние до плоскости). $L = \sqrt{r^2 + h_{плоск}^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{100 + 16 \cdot 6} = \sqrt{100 + 96} = \sqrt{196} = 14$ см. **Допущение:** в задаче 4 под фразой «расстояние до сторон» имеется в виду наклонная от точки $D$ к сторонам треугольника.