Вне равностороннего треугольника ABC взята точка E так, что угол BEC равен 120 градусов. Докажите, что BE + EC = AE.

**Ответ: Доказано.** **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он равносторонний, то все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle BAC = 60^\circ$. 2. По условию, точка $E$ лежит вне треугольника, и $\angle BEC = 120^\circ$. 3. Заметим, что $\angle BAC + \angle BEC = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. 4. Сумма противоположных углов в четырехугольнике $ABEC$ равна $180^\circ$. Это признак того, что около четырехугольника $ABEC$ можно описать окружность. То есть точки $A, B, E, C$ лежат на одной окружности. 5. Применим теорему Птолемея для вписанного четырехугольника $ABEC$: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. $AE \cdot BC = BE \cdot AC + EC \cdot AB$ 6. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то его стороны равны: $AB = BC = AC = a$. 7. Подставим это в уравнение: $AE \cdot a = BE \cdot a + EC \cdot a$ 8. Разделим обе части уравнения на $a$ ($a \neq 0$): $AE = BE + EC$ Что и требовалось доказать.