564 Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

564. **Ответ: 10 см** Решение: 1. Периметр исходного треугольника: $P = 8 + 5 + 7 = 20$ см. 2. Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника, называются средними линиями. Каждая средняя линия равна половине соответствующей стороны треугольника. 3. Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника: $P_{нов} = 20 : 2 = 10$ см. 565. **Ответ: 5 см** Решение: 1. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от противоположных сторон и является их центром симметрии. 2. Расстояние от этой точки до большей стороны — это перпендикуляр, который равен половине меньшей стороны прямоугольника. 3. Следовательно, меньшая сторона равна: $2,5 \cdot 2 = 5$ см. 566. **Ответ: 42 см** Решение: 1. Так как $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$, то отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. 2. Треугольник $APQ$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = 0,5$ (так как $AP = \frac{1}{2}AB$, $AQ = \frac{1}{2}AC$, $PQ = \frac{1}{2}BC$). 3. Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия: $P_{APQ} : P_{ABC} = 1 : 2$. 4. $P_{ABC} = 21 \cdot 2 = 42$ см.