Упростите выражение: 1) cos6α/sin2α + sin6α/cos2α; 2) 2cos2α/(ctgα - tgα); 3) tgα/(1+tgα) + tgα/(1-tgα); 4) (cosα/(1+sinα) + cosα/(1-sinα))sin2α; 5) (ctgα - ctg2α)sin2α; 6) (cos2α + 1 - cos²α)/cos(π/2 + 2α)

Привет! Давай разберем эти тригонометрические выражения по порядку. Основная идея здесь — приводить всё к общим знаменателям и использовать базовые формулы (двойного угла, суммы аргументов и основное тождество). **Ответы:** 1) $2 \text{ctg} 2\alpha$ 2) $\sin 4\alpha$ 3) $\text{tg} 2\alpha$ 4) $4 \text{tg} \alpha$ 5) $1$ 6) $-\cos 2\alpha$ **Пошаговое решение:** 1) $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$ В числителе — формула косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. $\frac{\cos(6\alpha - 2\alpha)}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha} = 2 \text{ctg} 4\alpha$ *(Примечание: в выражении $\sin 2\alpha \cos 2\alpha$ использована формула $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$)*. 2) $\frac{2 \cos 2\alpha}{\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha}$ Разложим котангенс и тангенс: $\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = 2 \text{ctg} 2\alpha$. Подставим в дробь: $\frac{2 \cos 2\alpha}{2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}} = \frac{2 \cos 2\alpha \cdot \sin 2\alpha}{2 \cos 2\alpha} = \sin 2\alpha$. *(Исправление: при умножении на $2\cos 2\alpha$ в числителе получается $\sin 4\alpha$)*. Верный путь: $\frac{2 \cos 2\alpha}{\frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}} = \sin 2\alpha$. 3) $\frac{\text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha} + \frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha}$ Вынесем $\text{tg} \alpha$ и приведем к общему знаменателю: $\text{tg} \alpha \left( \frac{1 - \text{tg} \alpha + 1 + \text{tg} \alpha}{(1 + \text{tg} \alpha)(1 - \text{tg} \alpha)} \right) = \text{tg} \alpha \frac{2}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \text{tg} 2\alpha$. 4) $\left( \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} \right) \sin 2\alpha$ В скобках: $\frac{\cos \alpha(1 - \sin \alpha) + \cos \alpha(1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$. Умножаем на $\sin 2\alpha$: $\frac{2}{\cos \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \sin \alpha$. 5) $(\text{ctg} \alpha - \text{ctg} 2\alpha) \sin 2\alpha$ Раскроем скобки: $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \sin 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = 1$. 6) $\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha}{\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}$ Числитель: $\cos 2\alpha + \sin^2 \alpha = (1 - 2 \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Знаменатель (формула приведения): $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$. Итого: $\frac{\cos^2 \alpha}{-\sin 2\alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{-2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{1}{2} \text{ctg} \alpha$.