1. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 20. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

**Задание 1** **Ответ: 60** Решение: 1. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. 2. Треугольник $CNM$ подобен треугольнику $CAB$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. 4. $S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 20 = 80$. 5. Площадь четырехугольника $ABMN$: $S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 80 - 20 = 60$. **Задание 2** **Ответ: 144** Решение: 1. Площадь трапеции $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. 2. Основание $a = 5$, основание $b = 7 + 15 = 22$, высота $h = 24$ (проверяется по теореме Пифагора для боковых сторон: $7^2 + 24^2 = 25^2$ и $\sqrt{26^2 - 24^2} = 10$, что не совпадает с рисунком, но для расчета площади используем данные числа). 3. $S = \frac{5 + 7}{2} \cdot 24$ — судя по рисунку, нижнее основание состоит из отрезков 7 и неизвестного. Если считать нижнее основание как $7 + 15 = 22$, то $S = \frac{5 + 22}{2} \cdot 24 = 324$. Однако, на чертеже 15 может быть вторым основанием целиком. Допустим, основания 5 и 7. Тогда $S = \frac{5 + 7}{2} \cdot 24 = 144$. **Задание 3** **Ответ: 217** Решение: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 7 \cdot 31 = 217$. **Задание 4** **Ответ: 11** Решение: Просто считаем клетки внутри фигуры: 11 целых клеток. **Задание 5** **Ответ: 15** Решение: $S = a \cdot h$. Основание $a = 5$ клеток, высота $h = 3$ клетки. $S = 5 \cdot 3 = 15$. **Задание 6** **Ответ: 6** Решение: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$. Диагонали ромба равны 2 и 6 клеток. $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$. **Задание 7** **Ответ: 50** Решение: В прямоугольном треугольнике, если один острый угол $45^{\circ}$, то и второй $45^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, катеты равны. Второй катет равен 10. $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$. **Задание 8** **Ответ: 18** Решение: 1. Опустим высоты из тупых углов. Они отсекают на нижнем основании отрезки $x = \frac{9 - 3}{2} = 3$. 2. В прямоугольном треугольнике с углом $45^{\circ}$ высота $h$ равна этому отрезку: $h = 3$. 3. $S = \frac{3 + 9}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$. **Задание 9** **Ответ: 50** Решение: 1. Сторона ромба $a = \frac{40}{4} = 10$. 2. $S = a^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10^2 \cdot 0,5 = 100 \cdot 0,5 = 50$.