Решите уравнение log2(x² - 5) * (log3(7 - x))² + 3 log2(x² - 5) - 2 (log3(7 - x))² - 6 = 0

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = -3$; $x_3 = 7 - \sqrt{3}$; $x_4 = 7 + \sqrt{3}$ (не подходит по ОДЗ)** Решим уравнение: $\log_{2}(x^2 - 5) \cdot (\log_{3}(7 - x))^2 + 3 \log_{2}(x^2 - 5) - 2 (\log_{3}(7 - x))^2 - 6 = 0$ 1. **ОДЗ (Область допустимых значений):** \begin{cases} x^2 - 5 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \begin{cases} (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0 \\ x < 7 \end{cases} $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; 7)$ 2. **Разложение на множители:** Заметим, что уравнение можно сгруппировать: $\log_{2}(x^2 - 5) \cdot [(\log_{3}(7 - x))^2 + 3] - 2 [(\log_{3}(7 - x))^2 + 3] = 0$ $(\log_{2}(x^2 - 5) - 2) \cdot ((\log_{3}(7 - x))^2 + 3) = 0$ 3. **Решение уравнений:** - Либо $(\log_{3}(7 - x))^2 + 3 = 0$ $(\log_{3}(7 - x))^2 = -3$ — решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. - Либо $\log_{2}(x^2 - 5) - 2 = 0$ $\log_{2}(x^2 - 5) = 2$ $x^2 - 5 = 2^2$ $x^2 - 5 = 4$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$ Оба корня входят в ОДЗ: $3 \in (\sqrt{5}; 7)$ и $-3 \in (-\infty; -\sqrt{5})$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи