Question

Определите число решений системы уравнений: а) y = x^8, y = x + 1; б) y = x^5, y = 5 - 3x; в) y = x^6, y = -3 + 2x; г) y = x^7, y = -x + 4.

Accepted Answer

Чтобы определить число решений системы уравнений, мы можем представить графики функций и посмотреть, в скольких точках они пересекаются.

а) $\begin{cases} y = x^8 \ y = x + 1 \end{cases}$
Ответ: 2 решения.
График $y = x^8$ — это «крутая» парабола с вершиной в $(0;0)$, ветви которой направлены вверх. Прямая $y = x + 1$ проходит выше вершины (при $x=0$, $y=1$). Так как парабола растет быстрее прямой, они пересекутся в двух точках (одна в отрицательной области $x$, другая в положительной).

б) $\begin{cases} y = x^5 \ y = 5 - 3x \end{cases}$
Ответ: 1 решение.
$y = x^5$ — возрастающая функция (похожа на кубическую параболу). Прямая $y = 5 - 3x$ убывает (коэффициент $-3$). Убывающая прямая и возрастающая кривая всегда пересекаются ровно в одной точке.

в) $\begin{cases} y = x^6 \ y = -3 + 2x \end{cases}$
Ответ: 0 решений.
$y = x^6$ всегда принимает значения $\ge 0$. Построим прямую $y = 2x - 3$. При $x=0$, $y=-3$; при $x=1,5$, $y=0$. В области, где прямая могла бы пересечь параболу, значения $x^6$ растут очень быстро. Если проверить минимальное значение разности функций, окажется, что они не пересекаются.

г) $\begin{cases} y = x^7 \ y = -x + 4 \end{cases}$
Ответ: 1 решение.
$y = x^7$ — возрастающая функция. Прямая $y = -x + 4$ — убывающая. Как и в пункте «б», графики пересекутся только в одной точке.

Определите число решений системы уравнений: а) y = x^8, y = x + 1; б) y = x^5, y = 5 - 3x; в) y = x^6, y = -3 + 2x; г) y = x^7, y = -x + 4.

Ответ ассистента

Другие решения