Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) (7n + 4)² - 9 делится нацело на 7

**Ответ:** 1) $(7n+4)^2 - 9 = (7n+4-3)(7n+4+3) = (7n+1)(7n+7) = (7n+1) \cdot 7(n+1)$. Выражение кратно 7. 2) $(8n+1)^2 - (3n-1)^2 = (8n+1-3n+1)(8n+1+3n-1) = (5n+2)(11n)$. Выражение кратно 11. 3) $(3n+7)^2 - (3n-5)^2 = (3n+7-3n+5)(3n+7+3n-5) = 12(6n+2) = 12 \cdot 2(3n+1) = 24(3n+1)$. Выражение кратно 24. 4) $(7n+6)^2 - (2n-9)^2 = (7n+6-2n+9)(7n+6+2n-9) = (5n+15)(9n-3) = 5(n+3) \cdot 3(3n-1) = 15(n+3)(3n-1)$. Выражение кратно 15. **Решение:** Для доказательства используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. 1. Представим 9 как $3^2$: $(7n+4)^2 - 3^2$. Разложим на множители: $(7n+4-3)(7n+4+3) = (7n+1)(7n+7)$. Вынесем 7 из второй скобки: $7(7n+1)(n+1)$. Так как один из множителей равен 7, всё выражение делится на 7. 2. Разложим: $(8n+1 - (3n-1))(8n+1 + (3n-1)) = (8n+1-3n+1)(8n+1+3n-1) = (5n+2)(11n)$. Множитель 11 доказывает делимость на 11. 3. Разложим: $(3n+7 - (3n-5))(3n+7 + (3n-5)) = (3n+7-3n+5)(3n+7+3n-5) = 12(6n+2)$. Из второй скобки вынесем 2: $12 \cdot 2(3n+1) = 24(3n+1)$. Множитель 24 доказывает делимость на 24. 4. Разложим: $(7n+6 - (2n-9))(7n+6 + (2n-9)) = (7n+6-2n+9)(7n+6+2n-9) = (5n+15)(9n-3)$. Из первой скобки вынесем 5, из второй 3: $5(n+3) \cdot 3(3n-1) = 15(n+3)(3n-1)$. Множитель 15 доказывает делимость на 15.