Решите задачи на тему 'Обыкновенные дроби', включая понятия правильных и неправильных дробей, смешанных чисел и задачи на части.

12. **Ответ: Нет, не согласен.** Дробь $\frac{8}{8}$ является **неправильной**. По определению, правильная дробь — это та, у которой числитель *меньше* знаменателя. Если числитель равен знаменателю или больше него, дробь называется неправильной. 13. Дробь $\frac{x}{7}$ будет: а) правильной при $x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ (числитель меньше 7); б) неправильной при $x \ge 7$, где $x$ — натуральное число ($7, 8, 9, ...$). 14. **Ответ: при $y < 9$ (т.е. $y \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$).** Чтобы смешанное число было записано верно, его дробная часть должна быть правильной дробью. Значит, числитель $y$ должен быть меньше знаменателя 9. 15. а) **Нет.** Дробь $\frac{n}{n}$ всегда равна 1, а у правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя. б) **Да.** При любом натуральном $n$ (например, $n=1, n=5$) числитель равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби. 16. **Ответ: $\frac{31}{28}$ от 28 учеников — это 31 человек.** Решение: $28 \cdot \frac{31}{28} = 31$. **Возможно ли такое?** В рамках одного класса — нет, так как количество учеников (часть) не может превышать общее количество учеников в этом же классе (целое). 17. **Ответ: $1\frac{2}{3}$ м или $\frac{5}{3}$ м.** Решение: Чтобы найти длину одной части, нужно общее количество (5 м) разделить на количество частей (3). $\\ 5 : 3 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ 18. **Ответ: $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}$. Всего 7 дробей.** Правильная дробь имеет числитель меньше 8. 19. **Ответ: $\frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{4}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6}$. Всего 6 дробей.** Неправильная дробь имеет знаменатель меньше или равный числителю (6). 20. **Ответ: 7 делений.** Решение: Смешанное число $1\frac{3}{4}$ нужно перевести в неправильную дробь со знаменателем 4. $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$. Так как каждое деление — это одна четвертая ($\frac{1}{4}$), то для $\frac{7}{4}$ стакана нужно набрать 7 таких делений.