Демоверсия контрольной работы по геометрии за 2 триместр 7 класса. Вариант Б1.

Я помогу тебе решить задания из Варианта Б1 данной контрольной работы. ### Задание 1 **Ответ: а) Доказано; б) 65°** **Решение:** а) Так как $\triangle DBE$ равнобедренный с основанием $DE$, то его боковые стороны равны ($BD = BE$) и углы при основании равны ($\angle BDE = ∠ BED$). Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$: 1. $BD = BE$ (из свойств равнобедренного $\triangle DBE$). 2. $∠ ADB = 180^∘ - ∠ BDE$ и $∠ CEB = 180^∘ - ∠ BED$ (смежные углы). Так как $∠ BDE = ∠ BED$, то $∠ ADB = ∠ CEB$. 3. $∠ ABD = ∠ CBE$ (по условию). ━━━ Следовательно, $┓ ABD = ┓ CBE$ по второму признаку (стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB = CB$. Значит, $┓ ABC$ — равнобедренный. б) Пусть $∠ BDE = ∠ BED = x$. Тогда смежные с ними углы: $∠ BDA = 180^∘ - x$ и $∠ BEC = 180^∘ - x$. По условию их сумма равна $230^∘$: $(180^∘ - x) + (180^∘ - x) = 230^∘$ $360^∘ - 2x = 230^∘$ $2x = 130^∘$ $x = 65^∘$ Значит, $∠ BDE = 65^∘$. ### Задание 2 **Ответ: а) Доказано; б) 26°** **Решение:** а) По рисунку прямые $OB$ и $AC$ пересечены секущей $OA$. $∠ 1 = 128^∘$, а $∠ 2 = 52^∘$. Сумма односторонних углов $∠ 1 + ∠ 2 = 128^∘ + 52^∘ = 180^∘$. Следовательно, прямые $OB$ и $AC$ параллельны ($OB ∥ AC$). При параллельных прямых $OB ∥ AC$ и секущей $OC$ накрест лежащие углы равны: $∠ BOC = ∠ ACO$. Так как $OC$ — биссектриса $∠ AOB$, то $∠ AOC = ∠ BOC$. Отсюда $∠ AOC = ∠ ACO$. В $ riangle AOC$ два угла равны, значит он равнобедренный и $AO = AC$. б) Углы $1$ и $AOB$ — смежные, значит $∠ AOB = 180^∘ - ∠ 1 = 180^∘ - 128^∘ = 52^∘$. Так как $OC$ — биссектриса, то $∠ AOC = ∠ AOB / 2 = 52^∘ / 2 = 26^∘$. Как мы доказали выше, $∠ ACO = ∠ AOC = 26^∘$. ### Задание 3 **Ответ: Доказано** **Решение:** Пусть в $ riangle ABC$ $∠ A = ∠ C$. Проведем биссектрисы $AD$ и $CE$. В $ riangle ACD$ и $ riangle CAE$: 1. Сторона $AC$ — общая. 2. $∠ CAD = ∠ ACE$ (так как это половины равных углов $A$ и $C$). 3. $∠ ACD = ∠ CAE$ (так как $∠ C = ∠ A$ по условию). Следовательно, $ riangle ACD = riangle CAE$ по второму признаку. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = CE$, что и требовалось доказать.