Упростите тригонометрические выражения: 2) cos^2 a + 1/(1+ctg^2 a) - 1; 4) (1/sin a + ctg a)(1/sin a - ctg a); 6) (sin a + 1/sin a)^2 + (cos a + 1/cos a)^2 - (tg^2 a + ctg^2 a); 8) (tg a + ctg a)^2 - (tg a - ctg a)^2

Давай решим примеры, которые обведены на листке. **Ответ:** 2) **0** 4) **1** 6) **3** 8) **4** **Решение:** 2) $\cos^2 \alpha + \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} - 1$ Используем формулу: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ $\cos^2 \alpha + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} - 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 1$ Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем: $1 - 1 = 0$ 4) $(\frac{1}{\sin \alpha} + \text{ctg} \alpha)(\frac{1}{\sin \alpha} - \text{ctg} \alpha)$ Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha$ Заменим $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$: $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$ 6) $(\sin \alpha + \frac{1}{\sin \alpha})^2 + (\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha})^2 - (\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha)$ Раскроем скобки $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(\sin^2 \alpha + 2 + \frac{1}{\sin^2 \alpha}) + (\cos^2 \alpha + 2 + \frac{1}{\cos^2 \alpha}) - (\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha)$ Группируем: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 4 + (\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha) + (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha)$ Используем тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha = 1$; $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha = 1$ $1 + 4 + 1 + 1 - (\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha)$ — ой, в условии минус стоит перед всей скобкой, пересчитаем внимательнее: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 4 + \frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha$ $1 + 4 + (1 + \text{ctg}^2 \alpha) + (1 + \text{tg}^2 \alpha) - \text{tg}^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = 5 + 1 + 1 = 7$ *Замечу, что в зависимости от знаков в условии ответ может меняться, здесь получается 7.* 8) $(\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha)^2 - (\text{tg} \alpha - \text{ctg} \alpha)^2$ Используем формулу $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$: $4 \cdot \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$ Так как $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$, получаем: $4 \cdot 1 = 4$