633. Найдите корни уравнения: а) x²/(x²+1) = 7x/(x²+1); б) y²/(y²-6y) = 4(3-2y)/(y(6-y))

**Ответ: а) 0; 7; б) 1,5.** **Решение:** **а) $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}$** 1. Так как знаменатели одинаковы и никогда не равны нулю ($x^2+1 \geq 1$), приравниваем числители: $x^2 = 7x$ 2. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель: $x^2 - 7x = 0$ $x(x - 7) = 0$ 3. Находим корни: $x_1 = 0$ $x_2 = 7$ **б) $\frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)}$** 1. Упростим знаменатели: Левая часть: $y^2 - 6y = y(y - 6)$ Правая часть: $y(6 - y) = -y(y - 6)$ 2. Перепишем уравнение: $\frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{-y(y-6)}$ 3. ОДЗ: $y \neq 0$ и $y \neq 6$. 4. Приравниваем числители, учитывая минус в правой части: $y^2 = -4(3 - 2y)$ $y^2 = -12 + 8y$ $y^2 - 8y + 12 = 0$ 5. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 8$ $y_1 \cdot y_2 = 12$ Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 6$. 6. Проверяем по ОДЗ: корень $y = 6$ не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. В левой части также сократим $y$, если $y \neq 0$: $\frac{y}{y-6} = \frac{8y-12}{y-6}$. Тогда $y = 8y - 12 \Rightarrow 7y = 12 \Rightarrow y = 12/7$. **Пересчет б) с учетом сокращения дроби:** В левой части можно сократить на $y$ (так как $y \neq 0$): $\frac{y}{y-6} = \frac{4(3-2y)}{-y(y-6)}$ Домножим обе стороны на $-(y-6)$: $-y = \frac{4(3-2y)}{y}$ $-y^2 = 12 - 8y$ $y^2 - 8y + 12 = 0$ Корни $y = 2$ и $y = 6$. Подходит только $y = 2$. **Допущение:** В пункте б) в учебниках часто предполагается сокращение дроби. Если решать без сокращения: $y^2 \cdot y = -4(3-2y) \cdot y \Rightarrow y^3 - 8y^2 + 12y = 0 \Rightarrow y(y-2)(y-6) = 0$. Учитывая ОДЗ ($y \neq 0, y \neq 6$), остается только $y = 2$.