Question

Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько.

Accepted Answer

Ответ: а) 2 решения; б) 2 решения; в) 1 решение.

Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, нужно найти количество точек пересечения их графиков.

а) $\begin{cases} y = x^3 \ xy = -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^3 \ y = -\frac{12}{x} \end{cases}$
- $y = x^3$ — кубическая парабола (проходит через I и III четверти).
- $y = -\frac{12}{x}$ — гипербола (ветви во II и IV четвертях).
Графики пересекутся в двух точках (в одной точке во II четверти и в одной точке в IV четверти).
:::div .chart-container @chart-a:::

б) $\begin{cases} y = x^2 + 8 \ y = -x^2 + 12 \end{cases}$
- $y = x^2 + 8$ — парабола, ветви вверх, вершина в точке $(0; 8)$.
- $y = -x^2 + 12$ — парабола, ветви вниз, вершина в точке $(0; 12)$.
Так как вершина второй параболы выше первой и ветви направлены навстречу друг другу, графики пересекутся в двух точках.
:::div .chart-container @chart-b:::

в) $\begin{cases} y = x^2 + 1 \ xy = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 + 1 \ y = \frac{3}{x} \end{cases}$
- $y = x^2 + 1$ — парабола, ветви вверх, вершина $(0; 1)$.
- $y = \frac{3}{x}$ — гипербола (ветви в I и III четвертях).
В III четверти парабола всегда положительна, а гипербола отрицательна (нет пересечений). В I четверти графики пересекаются ровно в одной точке, так как при $x=1$ значения функций совпадают: $1^2+1=2$ и $3/1=3$ (гипербола выше), но при росте $x$ парабола растет быстрее и обгонит гиперболу.
:::div .chart-container @chart-v:::

Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько.

Ответ ассистента

Другие решения