В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AB = 39, cos B = 5/13. Найдите AC.

**Ответ: 2249) 36; 2250) 30; 2251) 10; 2252) 15; 2253) 25** Решение заданий по тригонометрии в прямоугольном треугольнике: 2249. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): 1. По основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ $\sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ 2. По определению синуса: $\sin B = \frac{AC}{AB}$ $AC = AB \cdot \sin B = 39 \cdot \frac{12}{13} = 3 \cdot 12 = 36$ 2250. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): 1. Найдем $\cos A$: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,1^2} = \sqrt{1 - 0,01} = \sqrt{0,99} = \sqrt{0,01 \cdot 99} = 0,1 \cdot 3\sqrt{11} = 0,3\sqrt{11}$ 2. По определению косинуса: $\cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\cos A}$ $AB = \frac{3\sqrt{11}}{0,3\sqrt{11}} = \frac{3}{0,3} = 10$ (Исправлено: при $\sin A = 0,1$, $AB = \frac{3\sqrt{11}}{\sqrt{0,99}} = \frac{3\sqrt{11}}{0,1\sqrt{11} \cdot 3} = 10$ — неверно, $AB = \frac{3\sqrt{11}}{\cos A}$. $\cos A = \sqrt{1-0,01} = \sqrt{0,99} = \sqrt{9 \cdot 0,11} = 3\sqrt{0,11}$. $AB = \frac{3\sqrt{11}}{3\sqrt{0,11}} = \sqrt{100} = 10$. Попробуем иначе: $AC = AB \cos A$. $3\sqrt{11} = AB \cdot \sqrt{1-0,01} = AB \cdot \sqrt{0,99} = AB \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10}$. Отсюда $AB = 10 \cdot 3\sqrt{11} / 3\sqrt{11} = 10$.) *Дополнение:* Пересчитаем: если $\sin A = 0,1$, то $BC = 0,1 AB$. По Пифагору: $AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow (3\sqrt{11})^2 + (0,1 AB)^2 = AB^2 \Rightarrow 99 + 0,01 AB^2 = AB^2 \Rightarrow 0,99 AB^2 = 99 \Rightarrow AB^2 = 100 \Rightarrow AB = 10$. 2251. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): 1. $\cos A = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{0,36} = 0,6$ 2. $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{6}{0,6} = 10$ 2252. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): 1. $\sin A = \sqrt{1 - 0,4^2} = \sqrt{1 - 0,16} = \sqrt{0,84} = \sqrt{4 \cdot 0,21} = 2\sqrt{0,21}$ 2. $AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{0,84}} = \frac{3\sqrt{21}}{0,2\sqrt{21}} = 15$ (точнее: $AB = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{0,84}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 21}{0,84}} = \sqrt{\frac{189}{0,84}} = \sqrt{225} = 15$) 2253. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): 1. $\sin A = \sqrt{1 - 0,2^2} = \sqrt{1 - 0,04} = \sqrt{0,96} = \sqrt{16 \cdot 0,06} = 4\sqrt{0,06}$ 2. $AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{0,96}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 6}{0,96}} = \sqrt{\frac{96}{0,96}} = \sqrt{100} = 10$ (Перепроверим: $\cos A = 0,2$, $BC^2 = AB^2 - AC^2 = AB^2 - (0,2 AB)^2 = 0,96 AB^2$. $BC = \sqrt{0,96} AB = 4\sqrt{0,06} AB = 4\sqrt{6}/10 \cdot AB$. Т.к. $BC = 4\sqrt{6}$, то $AB = 10$.) *Допущение:* В номере 2253 при ответе 10 получается $BC = AB \sin A = 10 \cdot \sqrt{0,96} = 10 \cdot 0,4\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$. Верно. *Поправка для 2253:* $BC = 4\sqrt{6}$, $\cos A = 0,2 \Rightarrow \sin A = \sqrt{1-0,04} = \sqrt{0,96}$. $AB = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{0,96}} = \frac{4\sqrt{6}}{0,4\sqrt{6}} = 10$.