1). Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине M. Докажите, что PE // QF.

1). **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle EPM$ и $\triangle FQM$: 1. $EM = MF$ (так как $M$ — середина $EF$ по условию). 2. $PM = MQ$ (так как $M$ — середина $PQ$ по условию). 3. $\angle EMP = \angle FMQ$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle EPM = \triangle FQM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle PEM = \angle QFM$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $PE$ и $QF$ и секущей $EF$. Так как накрест лежащие углы равны, то **$PE \parallel QF$**, что и требовалось доказать. 2). **Ответ: $\angle DMN = 34^{\circ}$, $\angle MDN = 34^{\circ}$, $\angle DNM = 112^{\circ}$.** **Решение:** 1. Так как $DM$ — биссектриса $\angle CDE$, то $\angle CDM = \angle MDE = \angle CDE : 2 = 68^{\circ} : 2 = 34^{\circ}$. Таким образом, в $\triangle DMN$ угол **$\angle MDN = 34^{\circ}$**. 2. По условию $MN \parallel CD$. Углы $\angle CDM$ и $\angle DMN$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $CD$ и секущей $DM$. Следовательно, **$\angle DMN = \angle CDM = 34^{\circ}$**. 3. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В $\triangle DMN$: $\angle DNM = 180^{\circ} - (\angle MDN + \angle DMN) = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 34^{\circ}) = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$. 3). **Доказательство:** Рассмотрим $\triangle AMC$ и $\triangle BMD$: 1. $AM = MB$ (так как $M$ — середина $AB$ по условию). 2. $\angle MAC = \angle MBD$ (накрест лежащие углы при $AC \parallel BD$ и секущей $AB$). 3. $\angle AMC = \angle BMD$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle AMC = \triangle BMD$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $CM = MD$. Это означает, что **$M$ — середина отрезка $CD$**, что и требовалось доказать.