Question

450 При допустимых значениях переменных докажите тождество: а) xy + (x^3 - y^3)/(x - y) = (x + y)^2

Accepted Answer

Ответ: Тождества доказаны.

Для решения воспользуемся формулами сокращенного умножения:
- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $xy + \frac{x^3 - y^3}{x - y} = xy + \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x - y} = xy + x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
$(x + y)^2 = (x + y)^2$ — тождество верно.

б) $\frac{z^3 + s^3}{z + s} - zs = \frac{(z + s)(z^2 - zs + s^2)}{z + s} - zs = z^2 - zs + s^2 - zs = z^2 - 2zs + s^2 = (z - s)^2$
$(z - s)^2 = (z - s)^2$ — тождество верно.

в) $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2$
Внимание: В учебнике опечатка в правой части или условии, так как получается $a^2 - b^2$, а не $a^2 + b^2$.

г) $\frac{c^3 - d^3}{c - d} - cd = \frac{(c - d)(c^2 + cd + d^2)}{c - d} - cd = c^2 + cd + d^2 - cd = c^2 + d^2$
$c^2 + d^2 = c^2 + d^2$ — тождество верно.

450 При допустимых значениях переменных докажите тождество: а) xy + (x^3 - y^3)/(x - y) = (x + y)^2

Ответ ассистента

Другие решения