Отрезки KM и EN пересекаются в точке O, которая является серединой данных отрезков. Докажите, что прямые KN и EM параллельны. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 52°. Найдите эти углы.

Для решения этих геометрических задач воспользуемся свойствами параллельных прямых и признаками равенства треугольников. **№3.** **Дано:** $KM \cap EN = O$, $KO = OM$, $EO = ON$. **Доказать:** $KN \parallel EM$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle KON$ и $\triangle MOE$: - $KO = OM$ (по условию); - $EO = ON$ (по условию); - $\angle KON = \angle MOE$ (как вертикальные углы). 2. Следовательно, $\triangle KON = \triangle MOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle OKN = \angle OME$. 4. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $KN$ и $EM$ и секущей $KM$. 5. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $KN$ и $EM$ параллельны ($KN \parallel EM$), что и требовалось доказать. **№4.** **Ответ: $64^{\circ}$ и $116^{\circ}$.** **Решение:** 1. Пусть один из односторонних углов равен $x$, тогда второй угол равен $x + 52^{\circ}$. 2. Сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна $180^{\circ}$. 3. Составим уравнение: $x + (x + 52^{\circ}) = 180^{\circ}$ $2x + 52^{\circ} = 180^{\circ}$ $2x = 180^{\circ} - 52^{\circ}$ $2x = 128^{\circ}$ $x = 64^{\circ}$ (первый угол). 4. Найдём второй угол: $64^{\circ} + 52^{\circ} = 116^{\circ}$.