В прямоугольном треугольнике катет равен a, прилежащий угол 60 градусов, через гипотенузу его проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45 градусов. Найдите расстояние от этой плоскости до вершины прямого угла.

Question

Вопрос:

В прямоугольном треугольнике катет равен a, прилежащий угол 60 градусов, через гипотенузу его проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45 градусов. Найдите расстояние от этой плоскости до вершины прямого угла.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{4}$** **Решение:** 1. Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C = 90^{\circ}$, катет $BC = a$, а прилежащий к нему угол $B = 60^{\circ}$. Тогда второй катет $AC = BC \cdot \tan 60^{\circ} = a\sqrt{3}$. 2. Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. 3. Гипотенуза $AB = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. 4. Высота $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 5. Пусть $CD$ — перпендикуляр, опущенный из вершины $C$ на плоскость, проходящую через гипотенузу. Тогда отрезок $CD$ — искомое расстояние. 6. По теореме о трех перпендикулярах, так как $CD \perp$ плоскости и $CH \perp AB$, то наклонная $CH$ образует с плоскостью угол $\angle CHD = 45^{\circ}$ (линейный угол двугранного угла). 7. Из прямоугольного треугольника $CDH$ (где $\angle D = 90^{\circ}$): $CD = CH \cdot \sin 45^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ответ ассистента

Другие решения