164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 8 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

164. **Ответ: 16 см и $8\sqrt{3}$ см (или $\approx 13,86$ см)** Для решения воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. 1. Найдем гипотенузу $c$: $c = 8 + 24 = 32$ см. 2. Найдем первый катет $a$: $a^2 = c \cdot a_c = 32 \cdot 8 = 256$ $a = \sqrt{256} = 16$ см. 3. Найдем второй катет $b$: $b^2 = c \cdot b_c = 32 \cdot 24 = 768$ $b = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}$ см. 165. **Ответ: 16 см** Используем ту же формулу: квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию. Пусть $a = 8$ см — катет, $a_c = 4$ см — его проекция, $c$ — гипотенуза. $a^2 = c \cdot a_c$ $8^2 = c \cdot 4$ $64 = 4c$ $c = 64 : 4$ $c = 16$ см.