Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

**Ответ: 3\sqrt{10} см и \sqrt{58} см** **Решение:** 1. Пусть $ABCD$ — ромб в основании, $O$ — точка пересечения его диагоналей, $S$ — вершина пирамиды. Высота $SO = 7$ см. 2. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагональ $AC = 8$ см, тогда $AO = 4$ см. 3. Из прямоугольного $\triangle AOB$ (где $AB = 5$ см — сторона ромба) найдём $BO$ по теореме Пифагора: $BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см. 4. Боковые рёбра находим из прямоугольных треугольников, образованных высотой и половинами диагоналей: - Для рёбер $SA$ и $SC$: $SA = SC = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$ см. - Для рёбер $SB$ и $SD$: $SB = SD = \sqrt{SO^2 + BO^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ см. **Допущение:** В ответе выше была допущена арифметическая ошибка в первом корне при краткой записи. Исправленный расчет: $SA = \sqrt{65}$ см, $SB = \sqrt{58}$ см.