Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки M до вершин квадрата, если OM = 3см.

### Решение заданий **Задание 1** **Ответ: $\sqrt{11}$ см** 1. Пусть сторона квадрата $a = 2\text{ см}$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\text{ см}$. 2. Точка $O$ — середина диагонали, значит расстояние от $O$ до вершины квадрата (половина диагонали) равно $R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\text{ см}$. 3. Прямая $OM$ перпендикулярна плоскости квадрата, значит $\triangle MOM_{верш}$ — прямоугольный (где $M_{верш}$ — любая вершина). По теореме Пифагора искомое расстояние $L$: $L = \sqrt{OM^2 + R^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 2} = \sqrt{11}\text{ (см)}$. --- **Задание 2** **Ответ: $3\sqrt{3}$ см и $6$ см** 1. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ в равностороннем треугольнике $ABC$ — это его высота $h$. $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ (см)}$. 2. Так как $AE \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $AE$ и $h$: $L_E = \sqrt{AE^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\text{ (см)}$. --- **Задание 3** **Доказательство:** 1. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB = BC$) медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также и высотой. Значит, $BM \perp AC$. 2. По условию $MO \perp (ABC)$, следовательно, любая прямая в этой плоскости перпендикулярна $MO$, то есть $BM \perp MO$. 3. Получили, что прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MO$, лежащим в плоскости $AOC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: $BM \perp (AOC)$. Что и требовалось доказать. --- **Задание 4** **Ответ: $5\sqrt{2}$ см** Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда находится по формуле: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — его измерения. $d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\text{ (см)}$.