Радиус окружности пересекает хорду в точке A. Докажите: а) радиус перпендикулярен хорде, если A — середина хорды; б) если радиус перпендикулярен хорде, то A — середина хорды.

Question

Вопрос:

Радиус окружности пересекает хорду в точке A. Докажите: а) радиус перпендикулярен хорде, если A — середина хорды; б) если радиус перпендикулярен хорде, то A — середина хорды.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и хорду $BC$. Пусть радиус пересекает хорду в точке $A$. Соединим центр $O$ с концами хорды $B$ и $C$. Получим треугольник $\triangle OBC$, который является равнобедренным, так как $OB = OC$ (как радиусы окружности). а) **Доказательство:** Если $A$ — середина хорды $BC$, то $BA = AC$. В равнобедренном треугольнике $\triangle OBC$ отрезок $OA$ является медианой, проведенной к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Следовательно, $OA \perp BC$, то есть радиус перпендикулярен хорде. б) **Доказательство:** Если радиус перпендикулярен хорде ($OA \perp BC$), то отрезок $OA$ является высотой в равнобедренном треугольнике $\triangle OBC$, проведенной к основанию $BC$. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, $BA = AC$, следовательно, точка $A$ — середина хорды.

Ответ ассистента

Другие решения