В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы C и D трапеции.

**Ответ: ∠C = 120°, ∠D = 60°** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$, в котором $\angle ACD = 90^\circ$. 2. В прямоугольной трапеции $ABCD$ высота $CH$ (опущенная из вершины $C$ на основание $AD$) разбивает основание $AD$ на два отрезка. Так как $BC = 4$ см и $ABCD$ — прямоугольная трапеция, то отрезок $AH = BC = 4$ см. 3. Тогда отрезок $HD = AD - AH = 16 - 4 = 12$ см. 4. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла: $CH^2 = AH \cdot HD$. $CH^2 = 4 \cdot 12 = 48$ $CH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. 5. Из прямоугольного треугольника $CHD$ найдем тангенс угла $D$: $\text{tg } D = \frac{CH}{HD} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\angle D = 30^\circ$. 6. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то: $\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. **Допущение:** В условии задачи возможна опечатка в значениях, так как при $\angle D = 30^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$ угол $\angle CAD$ должен быть $60^\circ$, что согласуется с метрическими соотношениями. Проверим еще раз: в $\triangle ACD$ высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки $4$ и $12$. $\text{tg } \angle CAD = \frac{CH}{AH} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \Rightarrow \angle CAD = 60^\circ$. Тогда $\angle D = 180 - 90 - 60 = 30^\circ$. Итоговые углы трапеции: $\angle A = 90^\circ$ $\angle B = 90^\circ$ $\angle D = 30^\circ$ $\angle C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.