975 Точка O — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы a = ED и b = EF.

**Ответ: $\vec{DO} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$** **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $DEF$. Точка $G$ — середина стороны $DF$ (так как $EG$ — медиана). По правилу сложения векторов: $$\vec{EG} = \vec{ED} + \vec{DG}$$ Так как $G$ — середина $DF$, то вектор $\vec{EG}$ можно выразить через стороны треугольника по формуле медианы: $$\vec{EG} = \frac{1}{2}(\vec{ED} + \vec{EF})$$ Подставим данные условия $\vec{a} = \vec{ED}$ и $\vec{b} = \vec{EF}$: $$\vec{EG} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$ 2. Точка $O$ — середина медианы $EG$. Значит: $$\vec{EO} = \frac{1}{2}\vec{EG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})$$ 3. Теперь выразим искомый вектор $\vec{DO}$ через векторы $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$: $$\vec{DO} = \vec{DE} + \vec{EO}$$ Заметим, что $\vec{DE} = -\vec{ED} = -\vec{a}$. Подставляем: $$\vec{DO} = -\vec{a} + \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})$$ $$\vec{DO} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$ $$\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$