Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°.

**Ответ: а) сторона — 10 см, площадь — 48 см²; б) сторона — 6\sqrt{3} см, площадь — 27\sqrt{3} см²** Решение: а) Пусть $a = 12$ см — основание, $h = 8$ см — высота к основанию. 1. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит, она делит основание пополам: $6$ см и $6$ см. 2. По теореме Пифагора боковая сторона $b$: $$b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ (см)}$$ 3. Площадь $S$: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\text{ (см}^2\text{)}$$ б) Пусть $a = 18$ см — основание, $\alpha = 120^\circ$ — угол при вершине. 1. Углы при основании равны: $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. 2. Высота $h$ делит треугольник на два прямоугольных с углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы (боковой стороны $b$). Пусть $h = x$, тогда $b = 2x$. 3. По теореме Пифагора для половины треугольника (половина основания равна $9$ см): $$x^2 + 9^2 = (2x)^2$$ $$x^2 + 81 = 4x^2$$ $$3x^2 = 81 \implies x^2 = 27 \implies x = 3\sqrt{3}\text{ (высота)}$$ 4. Боковая сторона: $$b = 2x = 6\sqrt{3}\text{ (см)}$$ 5. Площадь $S$: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\text{ (см}^2\text{)}$$