Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°

**Ответ: а) сторона — 10 см, площадь — 48 см²; б) сторона — 6√3 см, площадь — 27√3 см².** Решение: а) Дано: основание $a = 12$ см, высота $h = 8$ см. 1. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, значит, она делит основание пополам: $6$ см. 2. По теореме Пифагора найдём боковую сторону $b$: $$b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}$$ 3. Площадь треугольника $S$: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ (см}^2\text{)}$$ б) Дано: основание $a = 18$ см, угол против основания $\alpha = 120^\circ$. 1. Углы при основании равны: $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. 2. Проведём высоту $h$. В прямоугольном треугольнике против угла $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы (стороны $b$). Значит, $h = 0,5b$. 3. По теореме Пифагора или через косинус угла при основании: $$b = \frac{a/2}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}$$ 4. Найдём высоту: $$h = b \cdot \sin 30^\circ = 6\sqrt{3} \cdot 0,5 = 3\sqrt{3} \text{ (см)}$$ 5. Площадь треугольника $S$: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)}$$