Что называется отношением двух отрезков?

**Ответ:** 1. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. 2. Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если справедливо равенство: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$$ 3. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. 4. **Теорема:** Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). **Доказательство:** Пусть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия $k$. Тогда $\frac{S}{S_1} = \frac{\frac{1}{2}ab \sin C}{\frac{1}{2}a_1b_1 \sin C_1}$. Так как $\angle C = \angle C_1$, а $\frac{a}{a_1} = k$ и $\frac{b}{b_1} = k$, то $\frac{S}{S_1} = k \cdot k = k^2$. 5. **Первый признак подобия (по двум углам):** Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 6. **Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними):** Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. **Третий признак подобия (по трём сторонам):** Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 8. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. **Теорема:** Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. 9. **Теорема о медианах:** Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Доказывается через подобие треугольников, образованных при пересечении медиан и средней линии. 10. **Утверждение:** Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. (Доказывается через равенство острых углов). 11. **Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:** - Высота ($h$), проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу: $h = \sqrt{a_c \cdot b_c}$. - Катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: $a = \sqrt{c \cdot a_c}$ и $b = \sqrt{c \cdot b_c}$.