Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Question

Вопрос:

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 36** Решение: 1. Пусть касательные пересекаются в точке $C$. По условию $\angle ACB = 72^{\circ}$. 2. Касательные к окружности, проведённые из одной точки, равны ($AC = BC$). Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $$\angle CAB = \angle CBA = \frac{180^{\circ} - 72^{\circ}}{2} = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}$$ 4. Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle OAC = 90^{\circ}$. 5. Искомый угол $\angle ABO$ равен углу $\angle BAO$, так как треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$ как радиусы): $$\angle ABO = \angle BAO = \angle OAC - \angle CAB = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$$

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ ассистента

Другие решения