В классе 15 девочек и 15 мальчиков, сколькими способами они могут разбиться на пары для организации выпускного вальса?

**Задание 7** **Ответ: 1 307 674 368 000** Для того чтобы составить пары, нужно к каждой из 15 девочек поставить в пару мальчика. Первая девочка может выбрать любого из 15 мальчиков, вторая — из оставшихся 14, третья — из 13 и так далее. Количество способов равно перестановке из 15 элементов (факториал числа 15): $$15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot ... \cdot 1 = 1\,307\,674\,368\,000$$ **Задание 8** **Ответ: 24! способов; уменьшится на 2 ⋅ 23! способов** 1. Общее количество способов составить список из 24 учеников — это число перестановок из 24 элементов: $$P_{24} = 24!$$ 2. Посчитаем количество «запрещённых» вариантов, где Мария и Пётр стоят рядом. Представим их как одну группу (блок). Тогда в списке станет 23 объекта (блок + 22 ученика). Количество способов расставить 23 объекта: $23!$. Внутри блока Мария и Пётр могут меняться местами (Мария-Пётр или Пётр-Мария), это 2 варианта. Итого «запрещённых» способов: $2 \cdot 23!$. 3. Чтобы найти количество способов, где они не стоят рядом, нужно из общего числа вычесть запрещённые: $$24! - 2 \cdot 23!$$ Количество способов изменится (уменьшится) на $2 \cdot 23!$. **Задание 9** **Ответ: 12** Чтобы построить замкнутую ломаную через 5 вершин, нужно выбрать порядок их обхода. 1. Общее количество циклов (обходов) через $n$ вершин в полном графе вычисляется по формуле: $\frac{(n-1)!}{2}$. 2. Для пятиугольника ($n=5$): $$\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$$