Вариант 2. 1. Меньший из смежных углов в 4 раза меньше разности этих смежных углов. Найдите эти смежные углы.

**Ответ:** 1. $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$ 2. $10^{\circ}$ и $10^{\circ}$ 3. $40^{\circ}, 140^{\circ}, 40^{\circ}, 140^{\circ}$ **Решение:** 1. Пусть $x$ — меньший угол, тогда $(180 - x)$ — больший угол. Их разность равна $(180 - x) - x = 180 - 2x$. По условию: $$4x = 180 - 2x$$ $$6x = 180$$ $$x = 30$$ Меньший угол — $30^{\circ}$, тогда смежный с ним — $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. 2. Пусть вертикальные углы равны $\alpha$. Их сумма равна $2\alpha$. Смежный угол для каждого из них равен $(180^{\circ} - \alpha)$. По условию: $$2\alpha = (180 - \alpha) - 30$$ $$3\alpha = 150$$ $$\alpha = 50$$ **Допущение:** В условии сказано «на $30^{\circ}$ меньше угла». Если трактовать «сумма ($2\alpha$) на $30^{\circ}$ меньше угла $(180-\alpha)$», то: $$2\alpha + 30 = 180 - \alpha$$ $$3\alpha = 150 \Rightarrow \alpha = 50^{\circ}$$ Если же имелось в виду, что каждый из вертикальных углов искомый, то ответ $50^{\circ}$. Перепроверим формулировку: «на $30^{\circ}$ меньше угла, смежного с каждым из них». Пусть $\alpha$ — вертикальные углы. Сумма $= 2\alpha$. Смежный $= 180 - \alpha$. $2\alpha = (180 - \alpha) - 30 \Rightarrow 3\alpha = 150 \Rightarrow \alpha = 50^{\circ}$. 3. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Пусть это будут $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Сумма трех углов: $\alpha + \beta + \alpha = 180 + \alpha$. Четвертый угол — $\beta = 180 - \alpha$. По условию: $$(180 + \alpha) - (180 - \alpha) = 280$$ $$2\alpha = 280$$ $$\alpha = 140^{\circ}$$ Тогда второй угол $\beta = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. Углы: $140^{\circ}, 40^{\circ}, 140^{\circ}, 40^{\circ}$.