Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

**Билет № 1** 1) **Определение:** Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из замкнутой ломаной линии, звенья которой не пересекаются. * **Вершины:** точки соединения звеньев ломаной. * **Стороны:** отрезки, соединяющие соседние вершины. * **Диагонали:** отрезки, соединяющие две не соседние вершины. * **Периметр:** сумма длин всех сторон. **Формула суммы углов выпуклого $n$-угольника:** $$S = 180^\circ \cdot (n - 2)$$ 2) **Теорема о средней линии треугольника:** Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. **Теорема о средней линии трапеции:** Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 3) **Решение:** * Т.к. $OB$ — радиус, $OB = 5$ см. По условию $BD = 1$ см. Значит, $OD = OB - BD = 5 - 1 = 4$ см. * Рассмотрим треугольник $ODA$. Он прямоугольный (т.к. $OB \perp AC$), $OA = 5$ см (радиус). * По теореме Пифагора для $\triangle ODA$: $AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см. * Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 3 = 6$ см. **Ответ: 6 см.** 4) **Решение:** Пусть стороны прямоугольника — $a$ и $b$. Тогда: 1. Периметр: $2(a + b) = 56 \Rightarrow a + b = 28 \Rightarrow b = 28 - a$ 2. Диагональ (по Пифагору): $a^2 + b^2 = 20^2 = 400$ * Подставим: $a^2 + (28 - a)^2 = 400$ * $a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400$ * $2a^2 - 56a + 384 = 0 \Rightarrow a^2 - 28a + 192 = 0$ * По теореме Виета: $a_1 = 12, a_2 = 16$. Если $a=12$, то $b=16$ (или наоборот). * Площадь $S = a \cdot b = 12 \cdot 16 = 192$. **Ответ: 192.**