Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: 16 и 7.** Пусть $x$ и $y$ — задуманные натуральные числа, причём $x > y$. Составим условия задачи: 1) $x + y = 23$ 2) $7 < x - y < 11$ Так как числа $x$ и $y$ натуральные, то их разность $x - y$ также должна быть целым числом. Из неравенства $7 < x - y < 11$ следует, что разность может принимать только три значения: 8, 9 или 10. Заметим важную особенность: сумма $(x + y)$ и разность $(x - y)$ всегда имеют одинаковую чётность. Проверим это: $(x + y) - (x - y) = 2y$. Поскольку $2y$ всегда чётно, то числа $(x + y)$ и $(x - y)$ либо оба чётные, либо оба нечётные. По условию сумма $x + y = 23$ — нечётное число. Значит, и разность $x - y$ обязана быть нечётным числом. Среди возможных значений разности (8, 9, 10) только число **9** является нечётным. Теперь решим систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = 23 \\ x - y = 9 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$(x + y) + (x - y) = 23 + 9$$ $$2x = 32$$ $$x = 16$$ Найдём $y$: $$y = 23 - 16$$ $$y = 7$$ **Доказательство отсутствия других вариантов:** Как было показано выше, разность может быть только целым числом от 8 до 10. Из-за нечётности суммы разность также должна быть нечётной, что оставляет единственное возможное значение разности — 9. При фиксированной сумме и фиксированной разности система уравнений имеет только одно решение.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения