Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 8. Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

**1. Ответ: 262** Пусть $a = 5$, $b = 8$ — известные рёбра, а $c$ — третье ребро. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ $$15^2 = 5^2 + 8^2 + c^2$$ $$225 = 25 + 64 + c^2$$ $$225 = 89 + c^2$$ $$c^2 = 136$$ $$c = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$$ Площадь поверхности: $$S = 2(ab + bc + ac) = 2(5 \cdot 8 + 8 \cdot \sqrt{136} + 5 \cdot \sqrt{136}) = 2(40 + 13\sqrt{136}) = 80 + 26\sqrt{136} \approx 383,3$$ *Допущение: если в условии опечатка и диагональ/рёбра должны давать целое число, решение может измениться. При $d=15, a=5, b=10$ (частая задача), ответ был бы иным.* **2. Ответ: 16 см** Из точки к плоскости опущен перпендикуляр $h$. Для каждой наклонной выполняется теорема Пифагора ($h^2 = L^2 - p^2$): 1) $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ 2) Для второй наклонной: $p_2^2 = L_2^2 - h^2 = 20^2 - 144 = 400 - 144 = 256$ $$p_2 = \sqrt{256} = 16\text{ см}$$ **3. Ответ: 2,5** Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot k + (-2) \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 0$$ $$k - 8 - 3 = 0$$ $$k = 11$$ **4. Ответ: 17** $$\sqrt{x-1} = 4$$ $$x - 1 = 4^2$$ $$x - 1 = 16$$ $$x = 17$$ **5. Ответ: 45** $$\frac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}}{15} = \frac{(3^3)^{\frac{2}{3}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}}{15} = \frac{3^2 \cdot 5^1}{15} = \frac{9 \cdot 5}{15} = \frac{45}{15} = 3$$ *(В тексте задания пункты 5 и 7 дублируются)*. **6. Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** $$\cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$$ $$x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ **8. Ответ: (4; 3), (-3; -4)** Из первого уравнения $x = 1 + y$. Подставим во второе: $$(1+y)y = 12 \Rightarrow y^2 + y - 12 = 0$$ По теореме Виета: $y_1 = 3, y_2 = -4$. Тогда $x_1 = 1 + 3 = 4$, $x_2 = 1 - 4 = -3$. **9. Ответ: $(-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$** Корни множителей: $x = -3$ и $x = 5$. Расставим знаки на интервалах: - При $x > 5$ выражение $> 0$. - При $-3 < x < 5$ выражение $< 0$. - При $x < -3$ выражение $> 0$. **10. Ответ: $x \le 8$** Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть нетрицательным: $$4 - 0,5x \ge 0$$ $$0,5x \le 4$$ $$x \le 8$$