Отрезок SA длиной 6 см — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором AC = 8√2 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость квадрата равны. б) Найдите расстояние от точки S до прямой BC. Второе задание: Отрезок DC — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC (∠C = 90°). Отрезок CM — высота треугольника ABC. Найдите DM, если AC = 30 см, AB = 50 см, DC = 7 см.

1.1 **Ответ: а) Доказано; б) 10 см.** **Решение:** а) Проекцией точки $S$ на плоскость квадрата является точка $A$, так как $SA \perp (ABC)$. Следовательно: - Проекцией отрезка $SB$ является $AB$. - Проекцией отрезка $SC$ является $AC$. - Проекцией отрезка $SD$ является $AD$. Проекция $\triangle SBC$ — это $\triangle ABC$, а проекция $\triangle SDC$ — это $\triangle ADC$. В квадрате диагональ $AC$ делит его на два равных прямоугольных треугольника ($ABC$ и $ADC$). Так как треугольники равны, то и их площади равны. **Доказано.** б) Расстояние от точки $S$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра. 1. $SA \perp (ABC)$, значит $SA \perp BC$. 2. $AB \perp BC$ (стороны квадрата). 3. По теореме о трёх перпендикулярах $SB \perp BC$. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка $SB$. 4. Найдем сторону квадрата $AB$ через диагональ $AC = 8\sqrt{2}$ см: $$AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \text{ см}$$ 5. Из прямоугольного $\triangle SAB$ ($\angle A = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$ --- Второе задание (нижнее): **Ответ: 25 см.** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Найдем катет $BC$ по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}$$ 2. Найдем высоту $CM$, проведенную к гипотенузе $AB$: $$CM = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{30 \cdot 40}{50} = \frac{1200}{50} = 24 \text{ см}$$ 3. Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, значит $DC \perp CM$. 4. Из прямоугольного $\triangle DCM$ ($\angle C = 90^\circ$) найдем гипотенузу $DM$: $$DM = \sqrt{DC^2 + CM^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$$