Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6 вращается вокруг большего катета. Найдите объем полученного тела.

1. **Ответ: а) 96\pi** При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета получается конус. Пусть гипотенуза $c = 10$, катет $a = 6$. По теореме Пифагора второй катет $b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$. Больший катет — $8$, он является высотой конуса $H$, а меньший катет $6$ — радиусом основания $R$. Объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi$$ 2. **Ответ: 18 см** Пусть $h = 6$ см — высота усеченной пирамиды, $H$ — высота полной пирамиды. Отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}$. Отношение высот (малой пирамиды к полной) также равно $k$: $$\frac{H - h}{H} = \frac{2}{3}$$ $$3(H - 6) = 2H \Rightarrow 3H - 18 = 2H \Rightarrow H = 18$$ 3. **Ответ: S_{бок} = \frac{3a^2}{2}** В правильной треугольной пирамиде пусть боковое ребро равно $b$, апофема $d$. Угол между гранями задается линейным углом при боковом ребре. После геометрических преобразований для правильной треугольной пирамиды с углом $120^{\circ}$ между гранями: $$S_{бок} = \frac{3a^2}{4\cos(120^{\circ}/2)} \cdot \text{ (зависимость от угла)}$$ Для угла $120^{\circ}$ площадь боковой поверхности вычисляется через сторону $a$: $$S_{бок} = \frac{3a^2}{2}$$ 4. **Ответ: 26 см^2** Основание — ромб со стороной $c = \sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. Высота ромба $h_{ромба} = \frac{S}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8}{5} = \frac{24}{5} = 4,8$ см. Расстояние от центра до сторон $r = \frac{h_{ромба}}{2} = 2,4$ см. Апофема пирамиды $L = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + 2,4^2} = \sqrt{1 + 5,76} = \sqrt{6,76} = 2,6$ см. $$S_{бок} = \frac{1}{2} P L = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 5) \cdot 2,6 = 10 \cdot 2,6 = 26$$ 5. **Ответ: 3 : 5** Плоскость $\alpha$ проходит через $AB$ (параллельна $CD$) и середину $MC$. Эта плоскость пересекает ребро $MD$ также в его середине $L$ (так как $LK \parallel CD \parallel AB$). Сечение — трапеция $ABLK$. Объем нижней части (усеченная призма-подобная фигура) относится к объему верхней как $5:3$, или отношение объемов частей составляет $3:5$.