Решите уравнение (x - 2)⁴ - x² + 4x - 16 = 0. Сколько корней имеет уравнение?

**Ответ: 2 корня** Решим уравнение: $$(x-2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0$$ 1. Преобразуем часть уравнения $-x^2 + 4x - 16$. Заметим, что это выражение можно частично сгруппировать, если выделить полный квадрат или вынести минус: $$-(x^2 - 4x + 16)$$ 2. Однако удобнее сгруппировать слагаемые иначе. Заметим, что $-x^2 + 4x - 4 = -(x-2)^2$. Разложим число $-16$ как $-4 - 12$: $$(x-2)^4 - (x^2 - 4x + 4) - 12 = 0$$ $$(x-2)^4 - (x-2)^2 - 12 = 0$$ 3. Сделаем замену переменной $t = (x-2)^2$, где $t \ge 0$: $$t^2 - t - 12 = 0$$ 4. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант или по теореме Виета: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$$ $$t_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$$ 5. Так как $t = (x-2)^2$, то $t$ не может быть отрицательным. Значит, $t_2 = -3$ не подходит. 6. Вернемся к замене для $t_1 = 4$: $$(x-2)^2 = 4$$ $$x-2 = 2 \quad \text{или} \quad x-2 = -2$$ $$x_1 = 4, \quad x_2 = 0$$ Уравнение имеет два корня: $0$ и $4$.