Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания

Question

Вопрос:

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 16\sqrt{7} \text{ см}^2** **Решение:** 1. Сечением является равнобедренный треугольник, основанием которого служит сторона верхнего основания призмы ($a = 8 \text{ см}$), а боковыми сторонами — диагонали боковых граней. 2. Найдем боковую сторону сечения ($d$) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания и боковым ребром ($h = 6 \text{ см}$): $$d = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$ 3. В равнобедренном треугольнике (сечении) проведем высоту $m$ к основанию $a$. По теореме Пифагора: $$m = \sqrt{d^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \text{ см}$$ 4. Вычислим площадь сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot m = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21} \text{ см}^2$$ **Исправление:** Заметим, что в правильной треугольной призме сечение, проходящее через сторону верхнего основания и противоположную вершину нижнего, образует треугольник со сторонами $8$, $10$ и $10$. Площадь по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{10^2 - 4^2} = 4 \cdot \sqrt{84} = 4 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21} \text{ см}^2$.

Ответ ассистента

Другие решения