352 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

**352. Ответ: 60^\circ** Пусть $OB$ — радиус, проведенный в точку касания $B$. Тогда $\triangle OBA$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$), так как касательная перпендикулярна радиусу. В нем катет $OB = 4,5$ см (радиус), а гипотенуза $OA = 9$ см. Так как катет в два раза меньше гипотенузы, то $\angle OAB = 30^\circ$. Поскольку отрезок $OA$ является биссектрисой угла между касательными, то весь угол равен $30^\circ \cdot 2 = 60^\circ$. **353. Ответ: 60^\circ** Пусть $M$ — середина $OA$. По условию точка $M$ лежит на окружности, значит $OM$ — радиус. Тогда $OA = 2 \cdot OM = 2R$. В прямоугольном треугольнике $OBA$ (где $B$ — точка касания) катет $OB = R$, а гипотенуза $OA = 2R$. Следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$. Угол $BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. **354. Ответ: \angle 3 = 60^\circ, \angle 4 = 120^\circ** В прямоугольном треугольнике $OBA$ ($\angle B = 90^\circ$) катет $OB = 3$ см, а гипотенуза $OA = 6$ см. Значит, $\angle 3 = 30^\circ$ (на самом деле на рисунках к таким задачам $\angle 3$ обычно обозначает угол при вершине $A$, но если следовать логике катета против угла в $30^\circ$, то $\angle OAB = 30^\circ$). Допущение: на рисунке 162 $\angle 3 = \angle OAB$, а $\angle 4$ — смежный или центральный. Если $\angle OAB = 30^\circ$, то $\angle AOB = 60^\circ$. Обычно $\angle 3$ и $\angle 4$ в таких задачах — это углы треугольника или центральные углы. Без рисунка 162 точное определение номеров углов затруднено. Если $\angle 3 = \angle OAB$, то $\angle 3 = 30^\circ$. Если $\angle 3$ — это угол $AOB$, то $\angle 3 = 60^\circ$. Исходя из стандартных задач: $\angle 3 = 60^\circ$ (угол $AOB$), $\angle 4 = 120^\circ$ (угол $BOC$ или смежный).