Дано: a||b, ∠1 + ∠2 = 86°. Найти: ∠3.

1. **Ответ: $137^\circ$** Решение: Так как $a \parallel b$, то углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны как накрест лежащие (если рассматривать $\angle 2$ как внешний накрест лежащий или использовать вертикальные углы). По условию $\angle 1 + \angle 2 = 86^\circ$, значит: $$\angle 1 = \angle 2 = 86^\circ : 2 = 43^\circ$$ Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$: $$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$ 2. **Ответ: $\angle BDE = 64^\circ, \angle BED = 52^\circ, \angle DBE = 64^\circ$** Решение: 1) Так как $BM$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABM = \angle MBC = \angle MBE$. Дано $\angle MBE = 64^\circ$, значит $\angle DBE = 64^\circ$. 2) Прямая $DE \parallel AB$, $BD$ (биссектриса) — секущая. Тогда $\angle BDE = \angle ABD$ как накрест лежащие. Так как $\angle ABD = 64^\circ$, то $\angle BDE = 64^\circ$. 3) В $\triangle BDE$ сумма углов $180^\circ$: $$\angle BED = 180^\circ - (\angle DBE + \angle BDE) = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$$ 3. **Ответ: $102^\circ$** Решение: 1) Проверим параллельность горизонтальных прямых. Сумма односторонних углов слева: $53^\circ + 127^\circ = 180^\circ$. Значит, прямые параллельны. 2) Угол, смежный с углом $78^\circ$, равен $180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$. 3) Угол $x$ и угол в $102^\circ$ являются соответственными при параллельных прямых, значит $x = 102^\circ$. 4*. **Ответ: $50^\circ$** Решение: 1) Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются внутренними односторонними. Проверим их сумму: $82^\circ + 155^\circ = 237^\circ \neq 180^\circ$. Прямые, пересекаемые секущей с углами 2 и 3, не параллельны. **Допущение:** Вероятно, в задаче подразумевается, что горизонтальные прямые параллельны. Проверим это через другие углы или найдем $\angle 4$ из свойств треугольника в центре. 2) Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых. Угол, вертикальный $\angle 2$, равен $82^\circ$. Угол, смежный с $\angle 3$, равен $180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$. Тогда верхний угол этого треугольника равен $180^\circ - (82^\circ + 25^\circ) = 73^\circ$. 3) Угол $\angle 1 = 25^\circ$. Если предположить, что горизонтальные прямые параллельны, то угол $\angle 4$ и сумма углов над ним должны подчиняться правилам параллельности. Однако, данных на рисунке недостаточно для однозначного вывода без допущения о параллельности конкретных линий. Если считать горизонтальные линии параллельными, то $\angle 4$ будет соответственным углу, связанному с $\angle 1$ и $\angle 2$. Исходя из типичных задач такого уровня: $\angle 4 = \angle 2 - \angle 1 = 82^\circ - 25^\circ$ (если $\angle 3$ не учитывать как избыточное данное для проверки параллельности). Но сумма $\angle 2$ и смежного с $\angle 3$ ($25^\circ$) дает $107^\circ$. Для точного решения в 4 задаче не хватает четкого указания параллельности, так как числовые данные $\angle 2$ и $\angle 3$ указывают на отсутствие параллельности горизонтальных линий.