Решите уравнения: 1) (x-2)/(x+3) - 30/(x^2-9) = 1/6; 2) (x-2)/(x+1) + 5/(x-1) = 6/(x^2-1); 3) (x-9)/(x+1) - (x+3)/(1-x) = 8/(x^2-1); 4) (x+1)/(x-2) + 9/((x-2)(x-5)) = (x-2)/(x-5)

1. $$\frac{x-2}{x+3}-\frac{30}{x^2-9}=\frac{1}{6}$$ ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -3$. Умножим всё на $6(x-3)(x+3)$: $$6(x-2)(x-3) - 30 \cdot 6 = (x^2-9)$$ $$6(x^2 - 5x + 6) - 180 = x^2 - 9$$ $$6x^2 - 30x + 36 - 180 - x^2 + 9 = 0$$ $$5x^2 - 30x - 135 = 0$$ Разделим на 5: $$x^2 - 6x - 27 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = 9, x_2 = -3$$ $x_2 = -3$ не входит в ОДЗ. **Ответ: 9** 2. $$\frac{x-2}{x+1}+\frac{5}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$$ ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$. Умножим на $(x-1)(x+1)$: $$(x-2)(x-1) + 5(x+1) = 6$$ $$x^2 - 3x + 2 + 5x + 5 - 6 = 0$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ $$(x+1)^2 = 0$$ $$x = -1$$ $x = -1$ не входит в ОДЗ. **Ответ: корней нет** 3. $$\frac{x-9}{x+1}-\frac{x+3}{1-x}=\frac{8}{x^2-1}$$ Приведем вторую дробь к знаменателю $(x-1)$: $$\frac{x-9}{x+1}+\frac{x+3}{x-1}=\frac{8}{(x-1)(x+1)}$$ ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$. Умножим на $(x-1)(x+1)$: $$(x-9)(x-1) + (x+3)(x+1) = 8$$ $$x^2 - 10x + 9 + x^2 + 4x + 3 - 8 = 0$$ $$2x^2 - 6x + 4 = 0$$ Разделим на 2: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = 2, x_2 = 1$$ $x_2 = 1$ не входит в ОДЗ. **Ответ: 2** 4. $$\frac{x+1}{x-2}+\frac{9}{(x-2)(x-5)}=\frac{x-2}{x-5}$$ ОДЗ: $x \neq 2, x \neq 5$. Умножим на $(x-2)(x-5)$: $$(x+1)(x-5) + 9 = (x-2)^2$$ $$x^2 - 4x - 5 + 9 = x^2 - 4x + 4$$ $$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4$$ $$0 = 0$$ Равенство верно при любых $x$ из ОДЗ. **Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 5) \cup (5; +\infty)$**