Точка М равноудалена от сторон прямоугольного треугольника ABC на 5 см. Катеты этого треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Question

Вопрос:

Точка М равноудалена от сторон прямоугольного треугольника ABC на 5 см. Катеты этого треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 4 см** Для решения этой задачи воспользуемся свойством точки, равноудаленной от сторон многоугольника: её проекция на плоскость этого многоугольника является центром вписанной окружности. 1. Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ (см)}$$ 2. Найдём радиус $r$ вписанной окружности прямоугольного треугольника по формуле: $$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ (см)}$$ 3. Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника — это перпендикуляр $h$. Расстояние от точки $M$ до сторон треугольника (наклонная) равно 5 см, а радиус вписанной окружности является проекцией этой наклонной. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, радиусом $r$ и расстоянием до стороны: $$h = \sqrt{5^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ (см)}$$

Ответ ассистента

Другие решения