Прямая OM перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр O этого треугольника, OM = a, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, BC и CA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

**Ответ:** а) Расстояние до вершин: $\frac{a}{\sin \varphi}$; расстояние до сторон: $\frac{a \sqrt{1 + 3\text{ctg}^2 \varphi}}{2}$ б) $L = 2\pi a \text{ctg} \varphi$ в) $S = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \text{ctg}^2 \varphi$ **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MOC$ (так как $MO \perp ABC$): $OC = MO \cdot \text{ctg} \varphi = a \text{ctg} \varphi$. $OC$ — это радиус $R$ описанной окружности правильного $\triangle ABC$. Расстояние до вершин $MA = MB = MC$ (наклонные с равными проекциями): $MC = \frac{MO}{\sin \varphi} = \frac{a}{\sin \varphi}$. 2. Найдем сторону треугольника $s$ через $R$: $s = R\sqrt{3} = a\sqrt{3} \text{ctg} \varphi$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{R}{2} = \frac{a \text{ctg} \varphi}{2}$. 3. Расстояние до сторон — это апофема пирамиды (гипотенуза в треугольнике с катетами $MO$ и $r$): $d = \sqrt{MO^2 + r^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a \text{ctg} \varphi}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} \sqrt{4 + \text{ctg}^2 \varphi}$ (исправлено: $a\sqrt{1 + \frac{1}{4}\text{ctg}^2 \varphi}$). 4. Длина описанной окружности: $L = 2\pi R = 2\pi a \text{ctg} \varphi$. 5. Площадь $\triangle ABC$: $S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \text{ctg}^2 \varphi$.